Comment résoudre une équation du second degré ?
Toute équation de la forme ax² + bx + c = 0 (avec a ≠ 0) se résout en trois étapes : calculer le discriminant, interpréter son signe, puis appliquer la formule des racines. C'est un outil que vous croiserez aussi bien en cours de maths qu'en gestion d'entreprise.
Le discriminant : la clé de tout
La formule est simple : Δ = b² − 4ac. Ce nombre vous dit combien de solutions réelles existent.
- Δ > 0 : deux racines réelles distinctes — l'équation coupe l'axe des x en deux points
- Δ = 0 : une racine double — la parabole touche l'axe en un seul point
- Δ < 0 : aucune racine réelle — la parabole ne croise jamais l'axe (les solutions sont complexes)
Une fois Δ connu, les racines se trouvent avec x = (−b ± √Δ) / (2a).
Exemples concrets
Seuil de rentabilité d'un commerce
Un commerce genevois vend des articles à CHF 50 pièce. Ses coûts suivent la fonction C(x) = 2x² + 100x + 3'000, où x est le nombre d'articles. Le bénéfice nul correspond à 50x = 2x² + 100x + 3'000, soit 2x² + 50x + 3'000 = 0, ou encore x² + 25x + 1'500 = 0. Ici, Δ = 625 − 6'000 = −5'375. Le discriminant est négatif : avec ce modèle de coûts, le commerce ne peut pas atteindre l'équilibre. Il faut revoir les prix ou les charges.
Trajectoire d'un objet
La hauteur d'une balle lancée en l'air suit h(t) = −5t² + 20t + 1.5 (en mètres). Pour savoir quand elle touche le sol, on résout −5t² + 20t + 1.5 = 0. Le discriminant vaut 400 + 30 = 430. Les deux racines sont t ≈ −0.07 s (on l'ignore) et t ≈ 4.07 s. La balle retombe après environ 4 secondes.
Calcul d'un remboursement hypothécaire
Certaines formules d'amortissement d'emprunt utilisent des équations quadratiques. Pour un prêt immobilier de CHF 800'000 avec un taux fixe, la relation entre le taux effectif et les mensualités peut mener à résoudre une équation du second degré pour trouver le taux implicite d'un montage financier.
La forme factorisée
Quand vous connaissez les racines x₁ et x₂, vous pouvez réécrire l'équation sous forme factorisée : a(x − x₁)(x − x₂) = 0. Cette forme est pratique pour tracer la parabole ou vérifier vos résultats. Avec une racine double, cela donne a(x − x₁)² = 0.
Liens avec d'autres outils
Le calcul du discriminant utilise des opérations que vous retrouvez dans le calculateur de pourcentage. Pour simplifier les coefficients fractionnaires, le calculateur de fractions vous aide. Et si vous devez vérifier une proportionnalité avant de poser votre équation, la règle de trois reste un raccourci fiable.
Astuce : avant de lancer le calcul, divisez tous les coefficients par leur facteur commun. Si votre équation est 6x² − 18x + 12 = 0, divisez tout par 6 pour obtenir x² − 3x + 2 = 0. Le résultat sera identique, mais les nombres plus petits réduisent les risques d'erreur.
